Question

如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，OC与圆O相交于点D，连接AD并延长交BC于点E。

(1)若BC=根号3，CD=1，求圆O的半径
(2)取BE得中点F，连接DF，试判断DF于圆O的位置关系

Answer 1

1.设半径为r
则 OC^2 = OB^2 + BC^2
（r + 1)^2 = r^2 + 3
解得 r = 1
2.连接BD，所以BD垂直AD
因为EF = BF
所以 DF = BE/2 = EF = BF
因为 tan C = BD/BC = 1/跟号3
所以C = 30度
所以 角BOC = 60度
所以 ODB是等边三角形
所以 角ODB = 角OBD = 60度
所以 角DBF = 30度
所以 角BDF = 30度
所以 角ODF = 90度
所以 DF 是 圆O的切线

Answer 2

第二问还有简单的方法：
∵o是ab中点，f是bf中点
∴of是三角形ABE的中位线
∴OF∥AE
∴∠OFB=∠BEA,∠EDF=∠DFO
∵直角三角形EBD中DF=EF=BF=½BE
∵∠FEA=∠EDF
∴∠DFO=∠OFB
∴三角形FBO和三角形FDO中
DF=BF
∠DFO=∠OFB
OF=OF
∴三角形FBO≌三角形FDO
∴∠OBD=∠ODF
∵BC于圆O相切
∴∠OBF=∠ODF=90°
DF于圆O相切