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如图,圆O是△ABC是外接圆,BC为圆O直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上。求证:
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1,证明:连接OA
∵OA=OB(同圆半径相等)
∴∠BAO=∠B(三角形中,等边对应的角相等)
∵∠CAD=∠B(已知)
∴∠BAO=∠CAD
∵BC为直径(已知)
∴∠BAO+∠OAC=90°(直径所对的圆周角是直角)
∴∠CAD +∠OAC=90°
∴AD是圆的切线(过半径外端,且垂直于半径的直线是圆的切线)
2,已知sin∠ACD=√2/4,R=8
解:
a,sin∠ACB=sin(180°-∠ACD)=sin∠ACD=√2/4<√2/2=sin45°
则:∠ACB<45°(sina在第一象限是增函数)
所以:A点靠近B点,即过A的切线和BC的交点在圆左侧!
b,在⊿ABC中,cos∠ACB=√(1- sin∠²ACB)=√14/4
BC=2R=16,AB=BC sin∠ACB=4√2,AC=BC cos∠ACB=4√14
c,延长CB与切线交于E点,
因为:∠EAB=∠ACB(弦切角等于它所对的圆周角),∠E为公用角
所以:⊿AEB∽⊿CEA(两角对应相等,两三角形相似)
AB/AC=AE/CE=BE/AE=1/√7
AE=√7BE
AE/CE=√7BE/CE=√7BE/(BE+BC)=√7BE/(BE+16)= 1/√7
解方程得:BE=8/3
结论:当sin∠ACD=√2/4时,过A点的切线于圆在圆的左侧欲CB相交,设交点为E,则BE长为8/3
……
开始求CD长,发现CD为负值,经研究发现当A点的切线与CB交于左侧,所以:不存在D点(它的对应点为E)更无法求CD的长。只好求了BE的长。
假如你认为E就是D点,则,CD(CE)=BE+BC=16+8/3
∵OA=OB(同圆半径相等)
∴∠BAO=∠B(三角形中,等边对应的角相等)
∵∠CAD=∠B(已知)
∴∠BAO=∠CAD
∵BC为直径(已知)
∴∠BAO+∠OAC=90°(直径所对的圆周角是直角)
∴∠CAD +∠OAC=90°
∴AD是圆的切线(过半径外端,且垂直于半径的直线是圆的切线)
2,已知sin∠ACD=√2/4,R=8
解:
a,sin∠ACB=sin(180°-∠ACD)=sin∠ACD=√2/4<√2/2=sin45°
则:∠ACB<45°(sina在第一象限是增函数)
所以:A点靠近B点,即过A的切线和BC的交点在圆左侧!
b,在⊿ABC中,cos∠ACB=√(1- sin∠²ACB)=√14/4
BC=2R=16,AB=BC sin∠ACB=4√2,AC=BC cos∠ACB=4√14
c,延长CB与切线交于E点,
因为:∠EAB=∠ACB(弦切角等于它所对的圆周角),∠E为公用角
所以:⊿AEB∽⊿CEA(两角对应相等,两三角形相似)
AB/AC=AE/CE=BE/AE=1/√7
AE=√7BE
AE/CE=√7BE/CE=√7BE/(BE+BC)=√7BE/(BE+16)= 1/√7
解方程得:BE=8/3
结论:当sin∠ACD=√2/4时,过A点的切线于圆在圆的左侧欲CB相交,设交点为E,则BE长为8/3
……
开始求CD长,发现CD为负值,经研究发现当A点的切线与CB交于左侧,所以:不存在D点(它的对应点为E)更无法求CD的长。只好求了BE的长。
假如你认为E就是D点,则,CD(CE)=BE+BC=16+8/3
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连接OA作辅助线,AD为切线 所以∠OAD为直角 BC为圆直径 所以∠BAC也为直角
∠OAD=∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=∠BAC 即∠CAD=∠BAO
又因OB=OA 所以∠OBA=∠BAO=∠CAD
sin∠OBA=sin∠CAD=根号2/4 cos∠OBA=根号14/4
cos∠AOC=cos2∠OBA=cos∠OBA平方-sin∠OBA平方=根号3/2=OA/OD
OA=OC=8 OD=16/根号3 CD=OD-OC=16/根号3-8
∠OAD=∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=∠BAC 即∠CAD=∠BAO
又因OB=OA 所以∠OBA=∠BAO=∠CAD
sin∠OBA=sin∠CAD=根号2/4 cos∠OBA=根号14/4
cos∠AOC=cos2∠OBA=cos∠OBA平方-sin∠OBA平方=根号3/2=OA/OD
OA=OC=8 OD=16/根号3 CD=OD-OC=16/根号3-8
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