Question

高中数学:请用数学归纳法证明这道压轴题，在线等

Answer 1

我大胆猜测你这道题绝不是叫你用数学归纳法，很明显是第二问，那就必须用到第一问的结论，除非这题两问都是考数学归纳法，数学归纳法不是万能的，有时用它反而更复杂。
我猜你这道题的第一问必定是函数。因为你没有给出第一问，也为了让你看得懂，我逆推回去。
由第二问得，1/n^2<ln[(n+1)/n]<1/n，即1/n^2<ln(1+1/n)<1/n，构造函数
f(x)=x-ln(x+1)，运用导数可以证明f(x)在x=0处取得最小值，所以有f(x)>=f(0)=0，所以有
x>=ln(x+1)，所以当x>0时，有x>ln(x+1)，在上式中，取x=1/n，得1/n>ln(1+1/n)。
或构造函数f(x)=lnx-x+1，可以运用导数证明f(x)在x=1处取得最大值，所以有f(x)<=f(1)=0，所以当
x>0且不等于1时也有：x-1>lnx，在上式中取x=1+1/n，所以得1/n>ln(1+1/n)=ln(n+1)-lnn。
实际上，运用函数证明不等式也是高中常考的，如由x>ln(1+x)，取x=1/n，得
ln(n+1)-lnn<1/n，所以得
ln2-ln1<1
ln3-ln2<1/2
...
ln(n+1)-lnn<1/n
将上述n个式子相加便得ln(n+1)<1+1/2+1/3+...+1/n

而由x>ln(x+1)，取x=n，得ln(n+1)<n，所以有
ln(1+1)=ln2<1
ln(2+1)=ln3<2
...
ln(n-1+1)=lnn<n-1
上述n-1个式子相加便得ln(1*2*3*...*n)<n(n-1)/2，即n!<e^[n(n-1)/2]
好了，说了这么多，只是说明一下运用函数证明不等式，类似的题还有很多，比如由x-1>=lnx，可以用来证明算术-几何均值不等式。我也不多说了。
该题也可运用数学归纳法，只是要复杂点，可能要放缩、添项等。
至于证明1/n^2<ln(n+1)-lnn，留给你了，例如你可以构造f(x)=ln(x+1)-x^2，当然我没算过，只是猜测，关键是我不知道你的第一问是什么。一般利用第一问，都可很快得出答案。

Answer 2

LZ思路完全错误
压轴题的出现的不等式证明题都是源于前面所证出来的结果的推广，说白了这题就是要用结论1证明不等式2，LZ居然想到数学归纳法。
由于没给结论1，我只能想到用函数方法求解，先设函数然后求导，然后算n>3的函数最大（小）值，然后OVER。

追问

你算算看

追答

好吧。
设f(x)=ln(n+1)-lnn-n^(-2)，求导，得到f ’ （x）=2/n^3-1/n(n+1)（n>3恒小于0）函数单调递减
ln4/3-1/9=f(3)>=f(x)>f(+无穷)=0
后面的一样，自己算算看，不过不推荐这做法（f(+无穷)=0，这东西写在试卷上我想老师会很不高兴的）

Answer 3

具体解题步骤，当N=3时证明成立，N=N+1成立，然后得出成立，关键在证明，你自己算吧，写写太麻烦

追问

思路我懂了，就是不会做下去

靠你了

拍下来，懂了就采纳

Answer 4

做不出来挖

追问

加油

Answer 5

全题发来看一下

追问

肯定用赋值法酸的，不想用

可以用积分中值定理

追答

全题

追问

不用全题啊，而且我也没有把这张试卷带出来。。。