Question

设f是[0,1]上的连续函数，证明lim(n趋向于正无穷)n∫(从0到1)x^nf(x)dx=f(1)

Answer 1

题目没有问题
∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=∫{0,1-1/√n}xⁿ*f(x)dx+∫{1-1/√n,1}xⁿ*f(x)dx
由于f(x)在[0,1]上连续，xⁿ在[0,1]上不变号，且在[0,1]上可积
对f(x)在[0,1-1/√n]上运用积分第一中值定理，存在一点ξ₁∈[0,1-1/√n]，使得
∫{0,1-1/√n}xⁿ*f(x)dx=f(ξ₁)*∫{0,1-1/√n}xⁿdx
=f(ξ₁)*[x^(n+1)/(n+1)]| {0,1-1/√n}
=f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)

对f(x)在[1-1/√n,1]上运用积分第一中值定理，存在一点ξ₂∈[1-1/√n,1]，使得
∫{1-1/√n,1}xⁿ*f(x)dx=f(ξ₂)*∫{1-1/√n,1}xⁿdx
=f(ξ₂)*[1/(n+1)-(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)]
=f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]

故lim{n→∞}n*∫{0,1}xⁿ*f(x)dx
=lim{n→∞}n*f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)+lim{n→∞}n* f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]

由于lim{n→∞}(1-1/√n)^(n+1)
=lim{n→∞}(1-1/√n)^n
=lim{x→0+}(1-x)^(1/x²)
=lim{x→0+}e^[1/x²*ln(1-x)]
=e^{lim{x→0+}[1/x²*(-x)]} a→0，ln(1+a)~a
=0

故lim{n→∞}n*f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)
=lim{n→∞}f(ξ₁)*lim{n→∞}[n/(n+1)]*lim{n→∞}(1-1/√n)^(n+1)
=lim{n→∞}f(ξ₁)*1*0
=0
注：∵f(x)在[0,1]上连续，∴f(x)有界，∴lim{n→∞}f(ξ₁)为有限值

∵当n→∞时，1-1/√n→1，∴ξ₂→1
故lim{n→∞} n* f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
=lim{n→∞}f(ξ₂)*lim{n→∞}[n/(n+1)]*lim{n→∞}[1-(1-1/√n)^(n+1)]
=lim{ξ₂→1}f(ξ₂)*1*(1-0)
=f(1) 由连续性

因此，lim{n→∞}n*∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=f(1)，证毕

本题若直接根据积分中值定理，得到存在一点ξ∈(0,1)，使得
∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=ξⁿ*f(ξ)，这里0<ξ<1
容易得出lim{n→∞}n*∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=lim{n→∞}n*ξⁿ*f(ξ)=0的错误结果
原因在于当n→∞时，ξⁿ不是1/n的高阶无穷小，而是等价无穷小，此时ξ→1

为说明方便，不妨取f(x)=1
则∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=∫{0,1}xⁿdx=1/(n+1)=ξⁿ
显然，lim{n→∞}ξⁿ/(1/n)=lim{n→∞}n/(n+1)=1
且ξ=[1/(n+1)]^(1/n)
lim{n→∞}ξ=lim{n→∞}[1/(n+1)]^(1/n)=1

Answer 2

题目错了吧。根据积分中值定理，式子左边等于c^n*f(c)，c属于（0,1），f是闭区间上连续，所以有界，c^n*f(c)极限就是0，不是f（1）

追问

题目确实是这样的，正是因为这样才不会啊

追答

如果你确定这就是原题，那题目错了。