Question

高悬赏,非常急,跪求!求一道高一数学题的答案与和解析！

函数f(x)满足：对任意x1,x2>0，都有f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立，则称f(x)具有性质M.
(1)判断下列两个函数：①y=2x+1(x>0)，②y=x2(x>0)，是否具有性质M?
(2)判断函数y=lg(2x+b)(b>0)是否具有性质M? 请说明理由。
(3)若函数f(x)=ax+b(x>0，a>0且a≠1)具有性质M，求实数b的取值范围。
(4)判断函数y=lg(2^x+b)(b>0)是否具有性质M? 请说明理由。
(5)若函数f(x)=a^x+b(x>0，a>0且a≠1)具有性质M，求实数b的取值范围。

Answer 1

解答：
（1）
f(x)=2x+1
则f(x1)+f(x2)=2x1+1+2x2+1<2(x1+x2)+1=f(x1+x2)
∴ y=2x+1(x>0)具有性质M
f(x)=x²
则f(x1)+f(x2)=x1²+x2²<x1²+2x1x2+x2²=(x1+x2)²=f(x1+x2)
∴ y=x²(x>0)具有性质M
（2）
f(x)=lg(2x+b)
这个不满足性质M
取特例即可
令x1=x2=1
f(x1)+f(x2)=lg(2+b)+lg(2+b)=lg(b²+4b+4)
f(x1+x2)=f(2)=lg(4+b)<lg(b²+4b+4)=f(x1)+f(x2)
∴ y=lg(2x+b)不满足性质M
（3）
f(x1)+f(x2)=ax1+b+ax2+b
f(x1+x2)=a(x1+x2)+b>f(x1)+f(x2)
∴ a(x1+x2)+b>a(x1+x2)+2b
∴ b<0

追问

1.你第(1)问好像做错了吧？“f(x1)+f(x2)=2x1+1+2x2+1”号么？
2.第(2)问你能不能不用举反例的方法证明一下？
3.之前漏打了两小题，请把(4),(5)做一下。楼下对第(4)题的解答中由“b>1-(2^x1+2^x2)“得到”即有b>=-1时有上式>0”，这是怎么得到的？请顺便解释下，万分感谢~

追答

你够牛的，输错了，居然让你变成漏输了，呵呵。
(1)确实错了，
f(x)=2x+1不具有性质M
(2)
说明不满足的方法就是举反例。
(3)
第4题
f(x)=lg(2^x+b)
令x1=x2=1
则f(x1)+f(x2)=lg(2+b)(2+b)=lg(b²+4b+4)
f(x1+x2)=f(2)=lg(4+b)f(x1)+f(x2)
∴ f(x)=lg(2^x+b)不具有性质M
第5题
f(x)=a^x+b
f(x1)+f(x2)=a^x1+a^x2+2b
f(x1+x2)=a^(x1+x2)+b
则f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)>0
即 a^(x1+x2)-a^x1-a^x2-b>0
即 b0
∴ b+1≤0
∴ b≤-1

追问

为什么(a^x1-1)(a^x2-1)>0?

追答

分类
a>1,则a^x1-1>0,a^x2-1>0
0<a<1,则a^x-1<0,a^x2-1<0

追问

请看下关于第(4)题楼下的解答及我对他的追问，请你帮我解答一下这个追问，即：“为什么“2^x1>1,2^x2>1”?哪里有说第（4）小题里x>0吗?”，楼下的做法到底对不对啊？

追答

他的方法不对，题目中没有x>0的条件。

追问

你说“说明不满足的方法就是举反例。”你举反例的时候有什么依据吗？比如说假设一道题目要举反例，从1举到10了，可是1-10的数都是体现它能成立的，不是反例，那这样就继续接着11，12，13……举下去吗？还是应该先大致根据题目信息看出不满足的x的大致范围？就比如说第（2）题和第（4）题你都是举反例的，你怎么会想到要举f(1)呢?

追答

对任意x1,x2>0，都有f(x1)+f(x2)0,有f(x1)+f(x2)≥f(x1+x2)

举反例，可以靠观察，也可以靠试数。没有捷径。

追问

那你第（2）题和第（4）题中举的反例是靠试数还是观察得来的？

追答

先认为它成立，发现证明不出来，
然后就句反例，试数就行，
这个不是唯一的。

追问

那楼下做的第（2）小题的解答过程：“2)y=lg(2x+b),(b>0)，f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=lg(2x1+b)+lg(2x2+b)-lg(2x1+2x2+b)=lg[(2x1+b)*(2x2+b)/(2x1+2x2+b)]>lg1=0，即有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),即函数不具有性质M”楼下做的第（2）小题的解答过程是对的么？“lg[(2x1+b)*(2x2+b)/(2x1+2x2+b)]>lg1”这个是怎么得出来的？

追答

不对。

追问

他哪里错了呢?

追答

=lg[(2x1+b)*(2x2+b)/(2x1+2x2+b)]>lg1=0

没有理由，当然就是错的。

追问

哦。老师我问一下：(1)为什么y=f(x)与y=-f(x)关于y轴对称？(2)为什么关于y=f(x)关于x轴的对称函数是y=-f(x)？请简明地解释一下。

追答

抱歉，我不能将这个变成答疑帖。

追问

辛苦了，不好意思。。。万分感谢

追答

(1)为什么y=f(x)与y=-f(x)关于y轴对称？(2)为什么关于y=f(x)关于x轴的对称函数是y=-f(x)

最好直接记忆吧，
y=f(x)上一点(a,b)
则y=-f(x)上有一点(a,-b)
点关于y轴对称，
所以，直线关于y轴对称。

(1)为什么y=f(x)与y=-f(x)关于y轴对称？(2)为什么关于y=f(x)关于x轴的对称函数是y=-f(x)

最好直接记忆吧，
y=f(x)上一点(a,b)
则y=-f(x)上有一点(a,-b)
点关于y轴对称，
所以，直线关于y轴对称。

追问

额，y=f(x)与y=-f(x)是关于x轴对称的，我打错了，老师你没发现?

追答

额，改一下。
y=f(x)上一点(a,b)
则y=-f(x)上有一点(a,-b)
点关于x轴对称，
所以，直线关于x轴对称

Answer 2

1)y=2x+1.(x>0)

f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=2x1+1+2x2+1-2(x1+x2)-1=1>0
故有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),所以,此函数不具有性质M
y=x^2(x>0)
f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=x1^2+x2^2-(x1+x2)^2=-2x1x2<0
故有f(x1)+f(x2)<f(x1+x2),即此函数具有性质M
2)y=lg(2x+b),(b>0)
f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=lg(2x1+b)+lg(2x2+b)-lg(2x1+2x2+b)=lg[(2x1+b)*(2x2+b)/(2x1+2x2+b)]>lg1=0

即有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),即函数不具有性质M
3.f(x)=ax+b,(x>0,a>0,a不=1)具有性质M,则有
f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)
即有ax1+b+ax2+b<a(x1+x2)+b
解得b<0

追问

为什么lg[(2x1+b)*(2x2+b)/(2x1+2x2+b)]>lg1？请解释下。

追答

是不是这样的:y=lg(2^x+b)
f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=lg(2^x1+b)(2^x2+b)-lg[2^(x1+x2)+b]
=lg[(2^(x1+x2)+b(2^x1+2^x2)+b^2]/[2^(x1+x2)+b]

当2^(x1+x2)+b(2^x1+2^x2)+b^2>2^(x1+x2)+b时,即有b>1-(2^x1+2^x2),即有b>=-1时有上式>0
又有b>0,故有上式恒>0
所以,此函数不具有性质M

追问

由b>1-(2^x1+2^x2)为什么可以得到b>=-1时有上式>0？b>=-1怎么来的？

追答

因为2^x1>1,2^x2>1, 故有2^x1+2^x2>2
那么有1-(2^x1+2^x2)=-1.

追问

为什么“2^x1>1,2^x2>1”?哪里有说第（4）小题里x>0吗?