Question

如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F

如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F,连接FH,求证,四边形EFHC是菱形。
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Answer 1

证明：

∵EF⊥AB

∴∠EFB=∠ECB=90°

∵BE平分∠ABC

∴∠FBE=∠CBE

又∵BE=BE

∴△EFB≌△ECB（AAS）

∴EF=EC，∠BEF=∠BEC

又∵EH=EH

∴△FEH≌△CEH（SAS）

∴CH=FH

∵EF⊥AB，CD⊥AB

∴EF//CD

∴∠BEF=∠EHC

∴∠BEC=∠EHC

∴CE=CH

∴CE=EF=FH=CH

∴四边形EFHC是菱形

Answer 2

EF//CD, ∠FEC与∠HCE互补，两者相加等于180度，
因BE平分角ABC交AC于E，∠ACB=∠EEB=90°,
易证ΔECB≌ΔEFB.
从而，CE=EF,BC=BF,
又∠EBC=∠EBF,BH=BH,从而证得，ΔBHC≌ΔBHF,
所以，CH=HF,
又EF//CH,
从而证得 EFHC 为菱形。

Answer 3