Question

对数函数和正比例函数一定有交点吗?

可以分类讨论，可以用高数方法。总之得有个答案。

Answer 1

不一定，比如k>1/e时，

y=kx 与 y=lnx 

就没有交点！

追问

求证？

追答

设  f(x)=lnx-kx

f'(x)=1/x-k

f'(x)=0，解得，x=1/k

x<1/k时，f'(x)＞0

x＞1/k时，f'(x)＜0

所以，f(1/k)是f(x)的极大值，也是最大值。

k>1/e时

f(1/k)=-lnk-1<0

所以，f(x)没有零点。

即  y=kx 与 y=lnx 没有交点

追问

x＞1/k和k＞1/e有什么内在联系吗？

追答

没有，

x<1/k时，f'(x)＞0

x＞1/k时，f'(x)＜0

所以，f(1/k)是f(x)的极大值，也是最大值。

然后这个最大值f(1/k)=-lnk-1

当k>1/e时是负数，所以方程lnx=kx没有实根。

Answer 2

如没有特定的斜率限制，

那肯定是有交点的。

Answer 3

不一定，过原点且与对数函数相切的直线平行的就无交点