Question

求下列极限 (高等数学)

计算下列极限: ①. x→0 lim(1+3x)^(1/x ) ②. x→∞lim[(1+x)/x]^2x ③. x→∞lim(sinx)/x ④. x→0 limxcos 1/x 讨论函数 x x>=1 ⑤. f(x)={ 在x=1处的连续性 x^3 x< 1 下列函数在指定点处间断，说明这些间断点属那一类？如果是可去间断点，则补充定义或改变定义使之连续。 ⑥. f(x)=(x^2-1)/(x^2-3x+2)， 在x=1，x=2处 x <=2 ⑦. f(x)={ 在x=2处 x^2 x>2

Answer 1

1.e^3 x→0 lim(1+3x)^(1/x ) =[lim(1+3x)^1/(3x)]^3 =e^3 重要极限： x→0 lim(1+x)^（1/x)=e 2.e^2 x→∞ lim[(1+x)/x]^2x =lim[(1+1/x)^x]^2=e^2 重要极限转化;x→∞ lim(1+1/x)^x=e 其实x→∞ 1/x→0 3. 0 x→∞ lim(sinx)/x 等价于x→0 limx*sin（1/x）=0 因为sin（1/x）有界，定理：有界量与无穷小量的积仍是无穷小量。 4.同第三题，原理一样；0 5.x>=1，f（x）=1 而x< 1 f‘（x）=x^3=1 f（1）=1 f(x)在x=1处连续 6.在x=1处，无定义，但是，x→1 limf（x）=-2，函数极限存在，为 可去间断点；补充：x=1 f(x)=-2; 在x=2处,无定义 ，x→2 limf（x）=∞ 极限不存在，第二类间断点（无穷型）； 7.x→2^- 左极限：imf(x)=2 x→2^+右极限 limf（x）=4 左右极限存在但是不相等；属于跳跃间断点；