Question

已知函数f（x）=x|x-a|，（a≠0）（1）写出f（x）的单调区间（用a表示）（2）若f（x）在[3，+∞）上单调

已知函数f（x）=x|x-a|，（a≠0）（1）写出f（x）的单调区间（用a表示）（2）若f（x）在[3，+∞）上单调递增，求a的取值范围（3）若f（x）在（m，n）上既存在最大值又存在最小值，求m和n的取值范围（用a表示）

Answer 1

（1）当x≥a时，f（x）=x（x-a）
∴a＞0时，f（x）的单调递增区间是[a，+∞），
a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，

a

2

），递增区间是（

a

2

，+∞）
当x＜a时，f（x）=x（a-x），
∴a＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，

a

2

），递减区间是（

a

2

，a），
a＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，a）．
（2）由（1）可知若f（x）在[3，+∞）上单调递增，则a＜0．
（3）a≠0，f（x）=

x(x?a) x≥a x(a?x) x＜a

．
①当a＞0时，f（x）的图象如图1所示：显然函数f（x）在（-∞，a）上的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

．
由

y＝ a2 4 y＝x(x?a)

，解得x=

1+ 2

2

a．
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

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