设函数f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直.(Ⅰ)求函数f(x
设函数f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直.(Ⅰ)求函数f(x)的极值与零点;(Ⅱ)设g(x)=1...
设函数f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直.(Ⅰ)求函数f(x)的极值与零点;(Ⅱ)设g(x)=1?xkx+lnx,若对任意x1∈[0,1],存在x2∈(0,1],使f(x1)>g(x2)成立,求实数k的取值范围.
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(Ⅰ)因为f'(x)=-3x2-4mx-m2,所以f'(2)=-12-8m-m2=-5,
解得:m=-1或m=-7,又m>-2,所以m=-1,
由f'(x)=-3x2+4x-1=0,解得x1=1,x2=
,
列表如下:
所以f(x)极小值=f(
)=
,f(x)极大值=f(1)=2,
因为f(x)=-x3+2x2-x+2=-(x-2)(x2+1),
所以函数f(x)的零点是x=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x∈[0,1]时,f(x)min=
,
“对任意x1∈[0,1],存在x2∈(0,1],使f(x1)>g(x2)”等价于“f(x)在[0,1]上的最小值大于g(x)在(0,1]上的最小值,
即当x∈(0,1]时,g(x)min<
”,
因为g′(x)=?
+
=
,
①当k<0时,因为x∈(0,1],
所以g(x)=
+lnx≤0<
,符合题意;
②当0<k≤1时,
≥1,
所以x∈(0,1]时,g'(x)≤0,g(x)单调递减,
所以g(x)min=g(1)=0<
,符合题意;
③当k>1时,0<
<1,
所以x∈(0,
)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,x∈(
,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以x∈(0,1]时,g(x)min=g(
)=1?
+ln
,
令φ(x)=lnx?x?
(0<x<1),则φ′(x)=
?1>0,
所以φ(x)在(0,1)上单调递增,
所以x∈(0,1)时,φ(x)<φ(1)=?
<0,即lnx?x<
,
所以g(x)min=g(
)=1?
+ln
<1+
=
,符合题意,
综上所述,若对任意x1∈[0,1],存在x2∈(0,1],使f(x1)>g(x2)成立,
则实数k的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).
解得:m=-1或m=-7,又m>-2,所以m=-1,
由f'(x)=-3x2+4x-1=0,解得x1=1,x2=
1 |
3 |
列表如下:
x | (?∞,
|
| (
| 1 | (1,+∞) | ||||||
f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
f(x) | ↘ | 极小值
| ↗ | 极大值2 | ↘ |
1 |
3 |
50 |
27 |
因为f(x)=-x3+2x2-x+2=-(x-2)(x2+1),
所以函数f(x)的零点是x=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x∈[0,1]时,f(x)min=
50 |
27 |
“对任意x1∈[0,1],存在x2∈(0,1],使f(x1)>g(x2)”等价于“f(x)在[0,1]上的最小值大于g(x)在(0,1]上的最小值,
即当x∈(0,1]时,g(x)min<
50 |
27 |
因为g′(x)=?
1 |
kx2 |
1 |
x |
x?
| ||
x2 |
①当k<0时,因为x∈(0,1],
所以g(x)=
1?x |
kx |
50 |
27 |
②当0<k≤1时,
1 |
k |
所以x∈(0,1]时,g'(x)≤0,g(x)单调递减,
所以g(x)min=g(1)=0<
50 |
27 |
③当k>1时,0<
1 |
k |
所以x∈(0,
1 |
k |
1 |
k |
所以x∈(0,1]时,g(x)min=g(
1 |
k |
1 |
k |
1 |
k |
令φ(x)=lnx?x?
23 |
27 |
1 |
x |
所以φ(x)在(0,1)上单调递增,
所以x∈(0,1)时,φ(x)<φ(1)=?
50 |
27 |
23 |
27 |
所以g(x)min=g(
1 |
k |
1 |
k |
1 |
k |
23 |
27 |
50 |
27 |
综上所述,若对任意x1∈[0,1],存在x2∈(0,1],使f(x1)>g(x2)成立,
则实数k的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).
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