Question

已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求

已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[-1，1]，使|f（x0）|≥|a|．

Answer 1

数f（x）=x²+ax+b，
（1）∵b=a，
∴f（x）=x²+ax+a，
△=a²-4a，x=?

a

2

为对称轴，
①当a=0时，f（x）=x²，
∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，
∴a=0符合题意，
②当a=4时，f（x）=（x+2）²，
∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，
∴a=4符合题意，
③当a＞0，a≠4时
f（0）=a＞0，x=?

a

2

＜0，
∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，
∴a＞0，a≠4，符合题意，
④当a＜0时，△=a²-4a＞0，f（0）=a＜0，
x₀为f（x）=0，的左边的一个零点，x₀＜0，
∴|f（x）|在x∈[x₀，?

a

2

]上单调递增，
即只需满足1≤?

a

2

a≤-2
∴a≤-2，符合题意，
综上a≥0或a≤-2，
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x²+ax+b，
|f（1）|=|1+a+b|，|f（-1）|=|1-a+b|，
∵当1+b≥0，a≥0时，f（1）=|1+a+b|≥|a|，
当1+b＞0，a＜0时，|f（-1）|=|1-a+b|≥|a|，
当1+b＜0，a＜0时，|f（1）|=|1+a+b|≥|a|，
当1+b＜0，a＞0时，|f（-1）|=|1-a+b|≥|a|，
∴存在x₀∈[-1，1]，使|f（x₀）|≥|a|．