Question

（2011?武汉五月调考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）

（2011?武汉五月调考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE：S△CAB=1：4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

解答：（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC=∠BAC，
在△CBE与△CAB中；
∠DBC=∠BAC，∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．

（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB=1：4，△CBE∽△CAB，
∴AC：BC=BC：EC=2：1，
∴AC=4EC，
∴AE：EC=3：1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD∥OC，则AD：FC=AE：EC=3：1，
设FC=a，则AD=3a，
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴OF是△ABD的中位线，则OF=

1

2

AD=1.5a，
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a，则AB=2OC=5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

3a

5a

＝

3

5

．