Question

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x 2 -6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x 2 -6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA︰AC=2︰5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D。（1）求出点A、点B的坐标。（2）请求出直线CD的解析式。 （3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：∵x 2 -6x+8=0， ∴x 1 =4，x 2 =2， ∵OA、OB为方程的两个根，且OA＜OB， ∴OA=2，OB=4 ∴ A（0，2），B（-4，0）； （2）∵ OA∶AC=2∶5， ∴AC=5 ∴OC=OA+AC=2+5=7， ∴ C（0，7）， ∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°， ∴∠PBD=∠OCD， ∵∠ BOA=∠COD=90°， ∴△BOA∽△COD， ∴ ， ∴ OD= ， ∴D（ ，0）， 设直线CD的解析式为y=kx+b， 把x=0，y=7；x= ，y=0分别代入得： ∴ ， ∴y CD =-2x+7； （3）存在，P 1 （-5.5，3），P 2 （9.5，3），P 3 （-2.5，-3）。