Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若EB=5

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若EB=5cm，CD= 10 3 cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OF⊥AC， ∴OF ∥ BC， ∴∠AOF=∠B， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴∠BEC=90°， ∵OF⊥AC， ∴∠AFO=∠BEC=90°， ∵在△AFO和△CEB中 ∠AFO=∠CEB OF=BE ∠AOF=∠B ， ∴△AFO≌△CEB（ASA）； （2）连接OD， 由垂径定理得：CE=DE=5 3 cm， ∵EB=5cm， ∴∠ABC=60°，因为OB=OC， 则△OBC是等边三角形， ∴∠BOC=60°， 则弧CD所对的圆心角是120°， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：x 2 = (5 3 ) 2 +（x-5） 2 ， x=10（cm），则扇形COD的面积为 120π ×10 2 360 = 100π 3 cm 2 ， ∵OE=5cm， ∴△COD的面积为 1 2 ×10 3 ×（10-5）=25 3 （cm 2 ） ∴阴影部分面积为：（ 100π 3 -25 3 ）cm 2 ．