Question

已知f(x)＝a?2x+a?22x+1(x∈R)，若f（x）是奇函数（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并

已知f(x)＝a?2x+a?22x+1(x∈R)，若f（x）是奇函数（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即f（0）=

a?20+a?2

20+1

=

2a?2

2

=0，
∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1，
∴f（x）=

2x?1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴f（x）是R上的单调递增函数．
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1?2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是单调递增函数．