Question

已知函数f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x+1)为奇函数.判断函数f(x)的单调性并用定义证明

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；（2）由（1）知f(x)=﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚，所以f（x）为增函数，任取x1＜x2∈R，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，根据函数单调性的定义即可判定；

解答：解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，∴a=1
（2）由（1）知f(x)=﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚，
证明：任取x1＜x2∈R
f（x1）-f（x2）=1-2/(2^x1+1)-1+2/(2^x2+1)=2(2^x1-2^x2)/[ (2^x1+1) (2^x2+1)]
∵x1＜x2∈R,∴2^x1＜2^x2
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）为R上的增函数．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．

有疑问可以追问哦，。

追问

﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚怎么化简的？？

追答

﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚
=﹙2^x+1-2﹚/﹙2^x+1﹚
=1-2/﹙2^x+1﹚