Question

已知函数f（x）=xx+3，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若

已知函数f（x）=xx+3，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=3n2anan+1，Sn=b1+b2+…+bn，求证：Sn＜12．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵函数f（x）=

x

x+3

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），
∴an+1=

an

an+3

，∴

1

an+1

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，且

1

a1

+

1

2

=

3

2

，
∴数列{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

?3n-1，
∴an=

2

3n-1

．
（Ⅱ）证明：b_n=

3n

2

a_na_n+1=

2?3n

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，
∴S_n=

1

3-1

-

1

32-1

+…+

1

3n-1

-

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