Question

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a4=20，a3=8；（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝anlog12an，

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a4=20，a3=8；（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝anlog12an，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意，有

a1q+a1q3 ＝20 a3＝a1q2＝8

，解之得

q＝2 a1＝2

或

q＝ 1 2 a1＝32

；（4分）
又{a_n}单调递增，∴

q＝2 a1＝2

，
∴a_n=2ⁿ．（6分）
（2）依题意，bn＝2n?log

1

2

2n＝?n?2n，（8分）
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①，
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹②，
∴①-②得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝2n+1?n?2n+1?2；（10分）
∴S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50即为2ⁿ⁺¹-2＞50，∴2ⁿ⁺¹＞52，
∵当n≤4时，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52．
∴使S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．（12分）