Question

已知函数f（x）=x 4 -4x 3 +ax 2 -1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．（1）求a的值；（2

已知函数f（x）=x 4 -4x 3 +ax 2 -1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．（1）求a的值；（2）记g（x）=bx 2 -1，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=4x 3 -12x 2 +2ax，因为f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，所以x=1是f（x）的极值点， 所以f′（1）=0， 即4×1 3 -12×1 2 +2a×1=0． 解得a=4，经检验满足题意，所以a=4． （2）由f（x）=g（x）可得 x 2 （x 2 -4x+4-b）=0， 由题意知此方程有三个不相等的实数根， 此时x=0为方程的一实数根，则方程x 2 -4x+4-b=0应有两个不相等的非零实根， 所以△＞0，且4-b≠0， 即（-4） 2 -4（4-b）＞0且b≠4， 解得b＞0且b≠4， 所以所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．