Question

已知直线l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点

已知直线l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=x2；③（x-1）2+（y-1）2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（　　）A．①④B．②③C．②④D．②③④

Answer 1

①由直线y=ax+1-a，可知此直线过点A（1，1），y=-2|x-1|=

?2x+2，x≥1 2x?2，x＜1

，
如图所示，直线l与函数y=-2|x-1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对函数”；
②y=x²与l：y=ax+1-a联立

y＝x2 y＝ax+1?a

解得

x＝1 y＝1

或

x＝a?1 y＝(a?1)2

，
此两个交点的距离

(a?2)2+(a2?2a)2

=|a|，化为（a-2）²（1+a²）-a²=0，
令f（a）=（a-2）²（1+a²）-a²，则f（1）=2-1=1＞0，f（2）=0-4＜0，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a-2）²（1+a²）-a²=0，有解．
故此函数是“绝对函数”；
③（x-1）²+（y-1）²=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a=±2满足条件，故此函数是“绝对函数”；
④把直线y=ax+1-a代入x²+3y²=4得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0，
∴x1+x2＝

?6a(1?a)

3a2+1

，x1x2＝

3(1?a)2?4

3a2+1

．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2＝(1+a2)[(x1+x2)2?4x1x2]=(1+a2)[

36a2(1?a)2

(3a2+1)2

?4×

3(1?a)2?4

3a2+1

]，
化为

a2

a2+1

?(

6a+2

3a2+1

)2＝0，
令f（a）=

a2

a2+1

?(

6a+2

3a2+1

)2，而f（1）=

1

2

?22＜0，f（3）=

9

10

?

25

49

＞0．
∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数是“绝对函数”．
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．
故选D．