Question

将函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象

将函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数y=sin（2x+π6）的图象重合，则m+n的最小值为______．

Answer 1

将函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），
∵其图象与y=sin（2x+

π

6

）的图象重合，
∴sin（2x+2m）=sin（2x+

π

6

），∴2m=

π

6

+2kπ，k∈z，故m=

π

12

+kπ，k∈z，（k∈Z），
当k=0时，m取得最小值为

π

12

．
将函数y=sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y=sin2（x-n）=sin（2x-2n），
∵其图象与y=sin（2x+

π

6

）的图象重合，
∴sin（2x-2n）=sin（2x+

π

6

），∴-2n=

π

6

+2kπ，k∈z，
故n=-

π

12

-kπ，k∈z，当k=-1时，n取得最小值为

11π

12

，
∴m+n的最小值为π，
故答案为：π．