Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F

判断△CEF的形状，并证明你的结论
当∠B=30°，BC=12时，求△CEF的周长
orz求救求救

Answer 1

解：

1）△CEF是等腰三角形

因为：AE平分∠CAB

所以：∠CAE=∠BAE

因为：

∠CAE+∠FEC=90°

∠BAE+∠AFD=90°

所以：∠FEC=∠AFD

因为：∠AFD=∠EFC（对顶角）

所以：∠FEC=∠EFC

所以：CE=CF

所以：△CEF是等腰三角形

2）

∠B=30°时，∠ECF=90°-∠B=60°

所以：△CEF是等边三角形

所以：CE=EF=CF

因为：∠CAB=90°-∠B=60°

所以：∠CAE=30°

因为：BC=12

所以：AC=BC÷√3=4√3

所以：CE=AC÷√3=4

所以：△CEF的周长为12

追问

不好意思。。请问第二小题可以用初二上半学期的知识做么。。果咩这里实在不会orz

追答

2）

过点F作FG//AB交BC于点G

因为：∠B=30°，∠C=90°

所以：∠ECF=90°-∠B=60°

所以：△CEF是等边三角形

因为：CD⊥AB

所以：CD⊥FG

所以：∠CFG=∠CFE+∠EFG=90°

所以：60°+∠EFG=90°

解得：∠EFG=30°

因为：FG//AB，∠B=∠FGE=30°（同位角）

所以：∠EFG=∠B=∠FGE=30°

所以：EF=EG=EC

因为：CF=EF

所以：F是AE的中点

所以：CF=EF=AF

所以：FG是△ABE的中位线

所以：G是BE的中点

所以：EG=BG

所以：CE=EF=CF=EG=BG

因为：BC=CE+EG+BG=12

所以：CF+EF+CE=12

所以：△CEF的周长为12

Answer 2

△CEF是等腰三角形

AE平分∠CAB
所以∠CAE=∠DAE
∠CAE+∠AEC=90,∠DAE+∠AFD=90,
∠CAE+∠AEC=∠DAE+∠AFD=90,
因,∠CAE=∠DAE
所以,∠AEC=∠AFD
又∠CFE=∠AFD
即有,∠AEC=∠AFD
CF=CE
△CEF是等腰三角形