Question

设数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项

设数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=anbn(n∈N+)，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（I）由题意可得数列{a_n}的公差d=

1

2

（a₅-a₃）=2，
故a₁=a₃-2d=1，故a_n=a₁+2（n-1）=2n-1，
由S_n+b_n=2可得S_n=2-b_n，当n=1时，S₁=2-b₁=b₁，∴b₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1），∴bn=

1

2

bn-1，
∴{b_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴b_n=1?(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1；
（II）由（I）可知c_n=

an

bn

=（2n-1）?2^n-1，
∴T_n=1?2⁰+3?2¹+5?2²+…+（2n-3）?2^n-2+（2n-1）?2^n-1，
故2T_n=1?2¹+3?2²+5?2³+…+（2n-3）?2^n-1+（2n-1）?2ⁿ，
两式相减可得-T_n=1+2?2¹+2?2²+…+2?2^n-1-（2n-1）?2ⁿ
=1+2

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）?2ⁿ
=1-4+（3-2n）?2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）?2ⁿ