Question

已知函数f（x）=ax 3 +cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．（I）求函数f（x）的解析

已知函数f（x）=ax 3 +cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[-3，3]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）由f（x）是R上的奇函数，有f（0）=0，所以d=0， 因此f（x）=ax 3 +cx，对函数f（x）求导得f′（x）=3ax 2 +c， 由题意得：f（1）=-2，f′（1）=0 所以 a+c=-2 3a+c=0 解得a=1，c=-3 因此f（x）=x 3 -3x （Ⅱ）f′（x）=3x 2 -3 令3x 2 -3＞0，解得x＜-1或x＞1； 令3x 2 -3＜0，解得-1＜x＜1， 因此f（x）的单调区间为（-∞，-1）和（1，+∞）； f（x）的单调减区间为（-1，1）． （Ⅲ）令f′（x）=0，得x 1 =-1或x 2 =1 当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表： 从上表可知，f（x）在区间[-3，3]上的最大值是18． 原命题等价于m大于f（x）在[-3，3]上的最大值，所以m＞18． 故m的取值范围是（18，+∞）