Question

已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连接AC、AP、

已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F、三点，连接OF．（1）求证：△AEP ∽ △CEA；（2）判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；（3）求BH：HC．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为正方形，

∴∠CAB=∠ACB=45°，∠DCB=90°，

∴AB是⊙D的切线，A为切点，

∴∠BCE=∠CAP，

∴∠PAE=∠ACE，

∵∠AEP=∠AEC，

∴△PAE ∽ △ACE；



（2）∵∠CPF=∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAP=45°，

∴∠COF=90°，

∴∠BOF=90°，

∴∠BOF=∠B=90°，

∴AB ∥ OF；



（3）∵AB ∥ OF，

∴BH：OH=AB：OF=2：1，

∵CO=OB=OH+HB，

∴BH：HC=2OH：4OH=1：2．