Question

（2014?沈阳模拟）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连

（2014?沈阳模拟）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．

Answer 1

（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，
而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线
依据切割线定理，得EA²=EF?EC…（2分）
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB²=EF?EC…（4分）
故AE=EB…（5分）
（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，
∴BF⊥EC
在RT△EBC中，有

BF

BC

＝

BE

EC

…（7分）
又在Rt△BCE中，
由射影定理得EF?FC=BF²=(

1×2

5

)2＝

4

5

．…（10分）