Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的极值点．（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的极值点．（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．（3）证明： ln2 3 + ln3 8 + ln4 15 +…+ lnn n 2 -1 ＜ (n+4)(n-1) 6 （n∈N，n＞1）．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）= 1 x-1 -k． 当k≤0时，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x） 在（1，+∞）上是增函数． f（x）在（1，+∞）上无极值点． 当 k＞0时，令f′（x）=0，则 x=1+ 1 k ． 所以当x∈（1，1+ 1 k  ）时，f′（x）= 1 x-1 -k＞ 1 1+ 1 k -1 -k=0， ∴f（x）在∈（1，1+ 1 k  ）上是增函数， 当x∈（1+ 1 k ，+∞） 时，f′（x）= 1 x-1 -k＜ 1 1+ 1 k -1 -k=0，∴f（x）在∈（1+ 1 k ，+∞）  上是减函数． ∴x=1+ 1 k  时，f（x）取得极大值．  综上可知，当 k≤0时，f（x）无极值点；  当k＞0时，f（x）有唯一极值点 x=1+ 1 k ． （2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立． 故只需考虑k＞0． 由1）知，f（x） max =f（1+ 1 k  ）=-lnk， 若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x） max =f（1+ 1 k  ）=-lnk≤0 即可， 化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）． 3）由2）知，当k=1时，lnx＜x-1，x＞1． ∴lnn 3 ＜n 3 -1=（n-1）（n 2 +n+1）＜（n-1）（n+1） 2 ． ∴ lnn n 2 -1 ＜ n+1 3 ，n∈N，n＞1． ∴ ln2 3 + ln3 8 + ln4 15 +…+ lnn n 2 -1 ＜ 1 3  （3+4+5+…+n+1）= 1 3 × (3+n+1) 2 （n-1） = (n+4)(n-1) 6 ，n∈N，n＞1．