Question

（1997?重庆）已知如图，正方形ABCD中，E为DC上一点，连接BE，作CF⊥BE于P交AD于F点，若恰好使得AP=AB．

（1997?重庆）已知如图，正方形ABCD中，E为DC上一点，连接BE，作CF⊥BE于P交AD于F点，若恰好使得AP=AB．求证：E为DC中点．

Answer 1

证明：过A作AM⊥BE与M．
∴∠AMB=∠AMP=90°，
∴∠1+∠3=90°   
∵BE⊥CF
∴∠4=90°
∴∠AMB=∠4    
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=90°．
即∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3
∵在△ABM和△BCP中，

∠AMB＝∠4 ∠3＝∠2  AB＝BC

，
∴△ABM≌△BCP（AAS）
∴AM=BP   
∵AP=AB，AM⊥BE，
∴BM=

1

2

BP=

1

2

AM．
∵∠2=∠3，∠AMB=∠BCE，
∴△ABM∽△BEC
∴

BM

AM

＝

CE

BC

＝

1

2

∵BC=DC
∴CE=

1

2

DC．
∴E为DC中点．