Question

（2012?湖北）如图，双曲线x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F

（2012?湖北）如图，双曲线x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1S2=______．

Answer 1

（Ⅰ）直线B₂F₁的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为

|bc|

b2+c2

∵以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴

|bc|

b2+c2

＝a
∴（c²-a²）c²=（2c²-a²）a²
∴c⁴-3a²c²+a⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∵e＞1
∴e=

5 +1

2

（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc
设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴

m

n

＝

c

b

∵m²+n²=a²，∴m＝

ac

b2+c2

，n＝

ab

b2+c2

∴面积S₂=4mn=

4a2bc

b2+c2

∴