Question

请尝试解决以下问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接

请尝试解决以下问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合， 由旋转可得：AB="AD,BG=DE," ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF． （2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长． （3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，在旋转过程中，等式BD +CE =DE 始终成立，请说明理由．

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Answer 1

解：(1)EAF、△EAF、GF                                               (2) 过A作AG⊥BC，交BC延长线于G． 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠C＝∠D＝90°， 又∠CGA＝90°，AD＝CD， ∴四边形AGCD为正方形．                                               ∴CG＝AD＝10． 已知∠BAE＝45°， 根据（1）可知，BE＝GB＋DE．                      设BE＝x，则BG＝x－4， ∴BC＝14－x． 在Rt△BCE中，  ∵ ，即 ．       解这个方程，得：x＝ ． ∴BE＝ ．                                                         （3）证明:如下图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置，       则CE=HB,AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°.                 连接HD,在?EAD和?HAD中 ∵AE=AH，∠HAD="∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD," AD=AD. ∴?EAD≌?HAD   ∴DH=DE                                        又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°  ∴BD +HB =DH 即BD +CE =DE

（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案； （2）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长； （3）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．