Question

已知数列{an}的前n项和Sn＝12anan+1，n∈N*，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝an+2(n∈N*

已知数列{an}的前n项和Sn＝12anan+1，n∈N*，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝an+2(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

（1）解：由题意，S1＝

1

2

a1a2，a₁=1，∴a₂=2．
∵Sn＝

1

2

anan+1，∴n≥2时，Sn?1＝

1

2

an?1an
两式相减可得an＝

1

2

an（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2
∴数列{a_n}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_2n=a₂+2（n-1）=2n，a_2n-1=a₁+2（n-1）=2n-1
∴a_n=n；
（2）证明：bn＝an+

2

=n+

2

假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_pb_r．
∴(q+

2

)2＝(p+

2

)(r+

2

)
∴

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