Question

已知在数列{an}中 a1=5 ,且an+1/an=n/n+1 求通项公式

Answer 1

由an+1/an=n/n+1
，两边同时乘an，得a(n+1)=an*（n/n+1）
易知an≠0，所以an=a（n-1）*（n-1/n）
a（n-1）=a（n-2）*（n-2/n-1）......
a3=a2*2/3
a2=a1*1/2，以上式子相乘，左右可抵，又a1=5，得出an=5/n

Answer 2

由题意知an+1/an≠0
又a1=5且an+1/an=n/n+1
∴an=a1*a2/a1*a3/a2*a4/a3*…*an/an-1
=5*1/2*2/3*3/4*…*n-1/n
=5/n
即an=5/n
方法总结：一般来说，已知a1且an/an-1=f(n)求通项公式，用累乘法
即an=a1*a2/a1*…*an-1/an-2*an/an-1
而若已知a1且an-an-1=f(n)求通项公式，用累加法
即an=a1+(a2-a1)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)

Answer 3

2a(n
1)=an
1(1)
2an=a(n-1)
1(2)
(1)-(2):
2[a(n
1)-an]=an-a(n-1)
[a(n
1)-an]/[an-a(n-1)]=1/2
a1=4,2a2=a1
1,a2=5/2,a3=7/4
(a2-a1)=-3/2*(1)
即数列{a(n
1)-an}是一个以-3/2为首项，公比为1/2的等比数列
a3-a2=-3/4*(2)
a4-a3=-3/8*(3)
....
an-a(n-1)*(n-1)
(1)
(2)
(3)
..(n-1):
an-a1=(-3/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
=3-3/2^(n-1)
an=7-3/2^(n-1)

Answer 4

a(n+1)/an=n/(n+1)
an/a(n-1)=(n-1)/n
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n-1)
……………………………
a4/a3=3/4
a3/a2=2/3
a2/a1=1/2
以上各式左右分别相乘，抵消共同项：
左式＝a(n+1)/a1＝右式＝1/(n+1)
∴a(n+1)＝a1/(n+1)=5/(n+1)
(n=1,2,3,……）
其中a1=5,