Question

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证： （1）AC是⊙O的切线

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证： （1）AC是⊙O的切线；（2）若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径。

Answer 1

（1）证明：连结OD、DC， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， 在Rt△ADC中，∵AE=EC， ∴DE=EC， ∴∠EDC=∠ECD， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠EDC=∠B=∠ECD， ∵∠B+∠DCB=90°， ∴AC是⊙O的切线。 （2）解：设每一份为k，则AD=3k，DB=2k，AB=5k， ∵AC是⊙O的切线，ADB是割线， ∴AC 2 =AD×AB，即3k×5k=15 2 ，解得k= ， ∴AB=5 ， 在Rt△ACB中，BC= ， 即⊙O的直径是 。