已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程
已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值...
已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
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（1）因为点P（1，-1）在曲线y=f（x）上，
所以-m=-1，解得m=1．
因为f′（x）=
-1=0，
所以切线的斜率为0，
所以切线方程为y=-1．
（2）因为f′（x）=
-m=
．
①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，
所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，
则f （x）max=f （e）=1-me．
②当
≥e，即0＜m≤
时，x∈（1，e），f′（x）＞0，
所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，
则f （x）max=f （e）=1-me．
③当1＜
＜e，即
＜m＜1时，
函数f （x）在 （1，
）上单调递增，在（
，e）上单调递减，
则f （x）max=f （
）=-lnm-1．
④当
≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，
函数f （x）在（1，e）上单调递减，
则f （x）max=f （1）=-m．
综上，①当m≤
时，f （x）max=1-me；
②当
＜m＜1时，f （x）max=-lnm-1；
③当m≥1时，f （x）max=-m．
（3）不妨设x1＞x2＞0．
因为f （x1）=f （x2）=0，
所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，
可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1-lnx2=m（x1-x2）．
要证明x1x2＞e2，
即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．
因为m=
，
所以即证明
＞
，
即ln
＞
．
令
=t，则t＞1，于是lnt＞
．
令?（t）=lnt-
（t＞1），
则?′（t）=
所以-m=-1，解得m=1．
因为f′（x）=
| 1 |
| x |
所以切线的斜率为0，
所以切线方程为y=-1．
（2）因为f′（x）=
| 1 |
| x |
| 1?mx |
| x |
①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，
所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，
则f （x）max=f （e）=1-me．
②当
| 1 |
| m |
| 1 |
| e |
所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，
则f （x）max=f （e）=1-me．
③当1＜
| 1 |
| m |
| 1 |
| e |
函数f （x）在 （1，
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
则f （x）max=f （
| 1 |
| m |
④当
| 1 |
| m |
函数f （x）在（1，e）上单调递减，
则f （x）max=f （1）=-m．
综上，①当m≤
| 1 |
| e |
②当
| 1 |
| e |
③当m≥1时，f （x）max=-m．
（3）不妨设x1＞x2＞0．
因为f （x1）=f （x2）=0，
所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，
可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1-lnx2=m（x1-x2）．
要证明x1x2＞e2，
即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．
因为m=
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
所以即证明
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
即ln
| x1 |
| x2 |
| 2(x1?x2) |
| x1+x2 |
令
| x1 |
| x2 |
| 2(t?1) |
| t+1 |
令?（t）=lnt-
| 2(t?1) |
| t+1 |
则?′（t）=
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