Question

已知动圆与直线y=-3相切，并与定圆x2+y2=1相内切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过原点作斜率

已知动圆与直线y=-3相切，并与定圆x2+y2=1相内切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过原点作斜率为1的直线交曲线C于p1（p1为第一象限点），又过P1作斜率为12的直线交曲线C于P2，再过P2作斜率为14的直线交曲线C于P3…如此继续，一般地，过Pn作斜率为12n的直线交曲线C于Pn+1，设Pn（xn，yn）．（i）令bn=x2n+1-x2n-1，求证：数列{bn}是等比数列；（ii）数列{bn}的前n项和为Sn，试比较34Sn+1与13n+10大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵动圆与直线y=-3相切，并与定圆x²+y²=1相内切，
∴P到原点的距离等于P到直线y=-2的距离，由抛物线定义可知，P的轨迹是以原点为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，其轨迹方程为x²=4（y+1）；
（Ⅱ）（i）设P_n（x_n，y_n）、P_n+1（x_n+1，y_n+1）在抛物线上，故x_n²=4（y_n+1），①x_n+1²=4（y_n+1+1）②，又因为直线P_nP_n+1的斜率为

1

2n

，可得x_n+1+x_n=

1

2n?2

∴b_n=x_2n+1-x_2n-1=（x_2n+1+x_2n）-（x_2n+x_2n-1）=

1

22n?2

-

1

22n?3

=-

1

22n?2

，
故数列{b_n}是以-1为首项，以

1

4

为公比的等比数列；
（ii）b_n=-

1

22n?2

，∴S_n=-

4

3

（1-

1

4n

），
∴

3

4

S_n+1=

1

4n

，
故只要比较4ⁿ与3n+10的大小．
4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+

C

1 n

?3+

C

2 n

?3²+…+

C

n n

?3n＞1+3n+

n(n?1)

2

?9＞1+3n+9=3n+10（n≥3），
当n=1时，

3

4

S_n+1＞

1

3n+10

；
当n=2时，

3

4

S_n+1=

1

3n+10

；
当n≥3，n∈N^*时，

3

4

S_n+1＜

1

3n+10

．