Question

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5 3 ，若关于x的方程（5 3

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5 3 ，若关于x的方程（5 3 +b）x 2 +2ax+（5 3 -b）=0有两个相等的实数根，又方程2x 2 -（10sinA）x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

Answer 1

∵方程（5 3 +b）x 2 +2ax+（5 3 -b）=0有相等实数根， ∴△=（2a） 2 -4（5 3 +b）（5 3 -b）=0． 得a 2 +b 2 =75． ∵C 2 =75，∴a 2 +b 2 =c 2 ． 故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．                         （2分） 设x 1 、x 2 是2x 2 -（10sinA）x+5sinA=0的两实数根， 则x 1 +x 2 =5sinA，x 1 ?x 2 = 5 2 sinA． ∵x 1 2 +x 2 2 =6，而x 1 2 +x 2 2 =（x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 ?x 2 ∴（5sinA） 2 -5sinA-6=0． 解得sinA= 3 5 ，或sinA=- 2 5 （舍去）．                         （5分） 在Rt△ABC中， C=5 3 ，a=c?sinA=3 3 ，b= c 2 - a 2 =4 3 故S △ABC = 1 2 ab=18．                                        （8分）