Question

数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ

数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=a2n?1a2n，Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜2（n∈N+）．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵a₁=1，a₂=2，
∴由题设递推关系式有a3＝(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

＝a1+1＝2，a4＝(1+cos2π)a1+sin2π＝2a2＝4．
一般地，当n=2k-1（k∈N₊）时，
a2k+1＝[1+cos2

(2k?1)π

2

]a2k?1+sin2

(2k?1)π

2

＝a2k?1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴数列{a_2k-1}是首项为1公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N₊）时，
a2k+2＝[1+cos2

2kπ

2

]a2k+sin2

2kπ

2

＝2a2k，
∴数列{a_2k}是首项为2公比为2的等比数列，因此a2k＝2k．
故数列{a_n}的通项公式为an＝

n+1 2 ，(n＝2k?1，k∈N+) 2 n 2 ，(n＝2k，k∈N+)

；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知bn＝

a2n?1

a2n

＝

n

2n

，
于是Sn＝

1

2

+

2

22

+

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