Question

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），已知齐次方程组Ax=0的通解为x=k（1，-2，1，0）T，k为任意常数，则

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），已知齐次方程组Ax=0的通解为x=k（1，-2，1，0）T，k为任意常数，则下列命题不正确的是（　　）A．α1，α2，α4线性无关B．α1，α3，α4线性无关C．α1，α2，α3线性相关D．α2，α3，α4线性相关

Answer 1

①选项A．假设α₁，α₂，α₄线性相关，则存在不全为零的实数k₁、k₂、k₄，使得
k₁α₁+k₂α₂+k₄α₄=0
∴(k1，k2，0，K4)T是AX=0的解
∴存在实数c，使得
(k1，k2，0，k4)T=c（1，-2，1，0）^T，
∴1=0矛盾
∴α₁，α₂，α₄线性无关
故A正确．
②选项B．同上，α₁，α₃，α₄线性无关
故B正确．
③选项C．由齐次方程组Ax=0的通解为x=k（1，-2，1，0）^T，得α₁-2α₂+α₃=0
∴α₁，α₂，α₃线性相关
故C正确
④选项D．假设存在一组实数k₂、k₃、k₄，使得
k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0
∴(0，k，2是AX=0的解
∴存在实数c，使得
(0，k2，k3，k4)T=c（1，-2，1，0）^T，
∴k₂、k₃、k₄都为0
∴α₂，α₃，α₄线性无关
故D错误
故选：D．