Question

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。 （1）求∠B的大小：（2）已知圆心0到

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。 （1）求∠B的大小：（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长。

Answer 1

（1）证明略 （2）AD=2OE=6

分析：（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可； （2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度． 解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°， ∴∠CDB=40°； 又∵∠APD=65°， ∴∠BPD=115°； ∴在△BPD中， ∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°； （2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3． ∵AB是直径， ∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）； ∴OE∥AD； 又∵O是AB的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD=2OE=6．