Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y。（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时， ①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵AC=3，BC=4 ∴AB=5 ∵ AC·BC= AB·CD， ∴CD= ，AD= ； （2）①当0＜x≤ 时 ∵EF∥CD ∴△AEF∽△ADC ∴ 即EF= x ∴y= ·x· x= 当 ＜x≤5时 易得△BEF∽△BDC，同理可求EF= （5-x） ∴y= ·x· （5-x）= ≤ ②当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大， ，即当x= 时，y最大值为 当 ＜x≤5时， ∵ ∴当 时，y的最大值为 ∵ ＜ ∴当 时，y的最大值为 ； （3）假设存在 当0＜x≤5时，AF=6-x ∴0＜6-x＜3 ∴3＜x＜6 ∴3＜x≤5 作FG⊥AB与点G 由△AFG∽△ACD可得 ∴ ，即FG= ∴ x· = ∴ =3，即2x 2 -12x+5=0 解之得 ， ∵3＜x 1 ≤5 ∴x 1 = 符合题意 ∵x 2 = ＜3 ∴x 2 不合题意，应舍去 ∴存在这样的直线EF，此时，x= 。