Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE。 （1）

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE。 （1）若BE是△DEC外接圆的切线，求∠ACB的大小；（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径。

Answer 1

解：（1）如图，连接OE ∵DE垂直平分AC， ∴∠DEC=90°， ∴DC为△DEC外接圆的直径， ∴DC的中点O即为圆心， 又知BE是⊙O的切线， ∴∠EBO+∠BOE=90°， 在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ACB， 又∵∠BOE=2∠ACB， ∴∠ACB+2∠ACB=90°， ∴∠ACB=30°；
（2）在Rt△ABC中， ， ∴ ， ∵∠ABC=∠DEC=90°，∠ACB=∠DCE， ∴△ABC∽△DEC， ∴ ，∴DC= ， ∴△DEC外接圆的半径为 。