Question

如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连 接BE．（1）若BE是△DEC的

如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连 接BE．（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．

Answer 1

（1）∵DE垂直平分AC， ∴∠DEC=90°， ∴DC为△DEC外接圆的直径， ∴DC的中点O即为圆心； 连接OE，又知BE是圆O的切线， ∴∠EBO+∠BOE=90°； 在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠C； 又∵OE=OC， ∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°， ∴∠C+2∠C=90°， ∴∠C=30°． （2）在Rt△ABC中，AC= A B 2 +B C 2 = 5 ， ∴EC= 1 2 AC= 5 2 ， ∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C， ∴△ABC ∽ △DEC， ∴ AC DC = BC EC ， ∴DC= 5 4 ， ∴△DEC外接圆半径为 5 8 ．