Question

设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a ∥ β，

设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a ∥ β，m?β，m ∥ a；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m ∥ a，n ∥ β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3

Answer 1

对于命题①，若a⊥β，β⊥γ，
则a与γ的位置不一定是垂直，也可能是平行，
比如：正方体的上、下底面分别是a与γ，右侧面是β
则满足a⊥β，β⊥γ，但a ∥ γ，
∴“a⊥γ”不成立，故①不正确；
对于命题②，∵a ∥ β，m?β
∴平面a与直线m没有公共点
因此有“m ∥ a”成立，故②正确；
对于命题③，可以举出如下反例：
在正方体中，设正对我们的面为γ，
在左侧面中取一条直线m，上底面中取一条直线n，
则m、n都与平面γ斜交时，m、n在γ内的射影必定互相垂直，
显然“m⊥n”不一定成立，故③不正确；
对于命题④，因为a⊥β，所以它们是相交平面，设a∩β=l
当m ∥ a，n ∥ β时，可得直线l与m、n都平行，
所以m ∥ n，“m⊥n”不成立，故④不正确．
因此正确命题只有1个．
故选B