Question

如图，AB为半圆0的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙O1切BD于点E，切CD于点F，切半圆周于点G．求证：

如图，AB为半圆0的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙O1切BD于点E，切CD于点F，切半圆周于点G．求证：（1）A、F、G三点在一条直线上；（2）AC=AE．

Answer 1

证明：（1）连AG，FG；再连OO₁，由⊙O₁切半圆周于点G，则其延长线必过G点，如图，
∵⊙O₁切CD于点F，
∴O₁F⊥CD，
而CD⊥AB于D，
∴O₁F∥AB，
∴∠FO₁G=∠AOG，
而△OAG和△O₁FG都是等腰三角形，
∴∠AGO=∠FGO₁，
∴A、F、G三点在一条直线上；

（2）连BC，BG，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
∴Rt△ADF∽Rt△AGB，
∴AD：AG=AF：AB，
即AD?AB=AF?AG，
又∵⊙O₁切BD于点E，
∴AE²=AF?AG，
∴AE²=AD?AB，
又∵AC²=AD?AB，
∴AC=AE．