如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CF⊥AB于点F，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为BD中点，连接
如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CF⊥AB于点F，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为BD中点，连接AE交CF于点H，连接CE．（1）求证：点H是CF中点；...
如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CF⊥AB于点F，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为BD中点，连接AE交CF于点H，连接CE．（1）求证：点H是CF中点；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为2，BE=3，求CF的长．
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（1）证明：∵BD为⊙的切线，
∴AB⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
而E为BD中点，
∴BE=DE，
∴FH=CH，
即点H是CF中点；
（2）证明：∵AB为⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
而CE为BD边上的中线，
∴CE=BE=DE，
∴∠2=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：∵BE=3，
∴BD=2BE=6，
在Rt△ABD中，AB=4，
∴AD=
=2
，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴
=
，即
=
，
∴AC=
，
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴
=
，即
∴AB⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，
∴
| FH |
| BE |
| AH |
| AE |
| CH |
| DE |
| AH |
| AE |
∴
| FH |
| BE |
| CH |
| DE |
而E为BD中点，
∴BE=DE，
∴FH=CH，
即点H是CF中点；
（2）证明：∵AB为⊙的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°，
而CE为BD边上的中线，
∴CE=BE=DE，
∴∠2=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：∵BE=3，
∴BD=2BE=6，
在Rt△ABD中，AB=4，
∴AD=
| AB2+BD2 |
| 13 |
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴
| AC |
| AB |
| AB |
| AD |
| AC |
| 4 |
| 4 | ||
2
|
∴AC=
8
| ||
| 13 |
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴
| CF |
| BD |
| AC |
| AD |
