Question

如图，等边三角形ABC的边长为4，P是三角形内角任意一点，过点P作三边的垂线PD、PE、PF，垂足分别为D、E、

如图，等边三角形ABC的边长为4，P是三角形内角任意一点，过点P作三边的垂线PD、PE、PF，垂足分别为D、E、F．则PD+PE+PF=______．

Answer 1

过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图所示：

∵△ABC为等边三角形的边长为4，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM=

1

2

BC=2，
在直角三角形ABM中，AB=4，BM=2，
根据勾股定理得：AM=

AB2?BM2

=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC?AM=4

3

，
又∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
=

1

2

PE?AB+

1

2

PF?AC+

1

2

PD?BC
=

1

2

AB（PE+PF+PD），
∴

1

2

×4（PE+PF+PD）=4

3

，
则PE+PD+PF=2

3

．
故答案为：2

3