Question

阅读下列材料：任意给定一个矩形ABCD，如果存在另一个矩形A'B'C'D'，使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长

阅读下列材料：任意给定一个矩形ABCD，如果存在另一个矩形A'B'C'D'，使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的k倍（k≥2，且k是整数）．那么我们把矩形A'B'C'D'叫做矩形ABCD的k倍矩形．例如：矩形ABCD的长和宽分别为3和1，它的周长和面积分别为8和3；矩形A'B'C'D'的长和宽分别为4+10和4-10，它的周长和面积分别为16和6，这时，矩形A'B'C'D'的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍，则矩形A'B'C'D'叫做矩形ABCD的2倍矩形．解答下列问题：（1）填空：一个矩形的周长和面积分别为10和6，则它的2倍矩形的周长为______，面积为______．（2）已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k倍矩形A'B'C'D'，且A'B'：AB=B'C'：BC？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵这个矩形的周长和面积分别为10和6，
它的2倍矩形的周长=10×2=20；2倍矩形的面积=6×2=12；

（2）答：不存在．
若存在，∵A'B'：AB=B'C'：BC，
∴A'B'：B'C'=AB：BC=2：1（设AB是长边）．
∴2（2 B'C'+B'C'）=k?2（2BC+BC）
K=B'C'/BC，K?BC=B'C'
由k倍矩形定义还可得：
A'B'?B'C'=k?AB?BC，又因A'B'=2 B'C'，AB=2BC
∴左边A'B'?B'C'=2 B'C'?B'C'=2k?BC?k?BC，右边 k?AB?BC=k?2BC?BC
2 k?BC?k?BC=k?2BC?BC
又∵2（A'B'+B'C'）=k?2（AB+BC），
∴B'C'=k，A'B'=2k．
∴k×2k=k×2，
∴k²=k，
∴k=0或1．
∵k≥2，
∴不存在满足条件的k．