Question

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率1/2

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率1/2
，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=7．
1）求椭圆的方程；
（2）求|AB|+|CD|的取值范围．

Answer 1

当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=7．
所以，2|a|+2|b|^2/a=7；(1)
又因为题目给出离心率为1/2,椭圆离心率e=c/a；而c=√（a^2-b^2）；
所以√（a^2-b^2）/a=1/2；化简可得：3a^2-4b^2=0； (2)
联立(1)(2)两式，以及a，b均大于零。解得a=2,b=√3 ；
所以椭圆的方程为：x^2/4+y^2/3=1

设AB的倾斜角度为θ，则可求得：AB的直线方程为：y=(sinθ/cosθ)(x-c)；(c^2=a^2-b^2)
http://wenku.baidu.com/link?url=YtqAzBwI8r4m1uaY6muPDblhM-oEsucL1AEqjV3Uf332izS2RDc868KlaCsnBwIAbKJITxop4cwiq4rI-zL-npPDVAnBoPyNJpmTB0a82fu
根据此文可得：|AB|=2ab^2/(a^2-(c^2)cos^2 θ)；代入本题中求得的a=2,b=√3；
以及c^2=a^2-b^2=1/4,求得：|AB|=2ab^2/(a^2-(c^2)cos^2 θ)=12/(4-cos^2 θ)；
因为CD垂直于AB,所以|CD|=2ab^2/(a^2-(c^2)cos^2 (π/2-θ))=12/[4-cos^2 (π/2-θ)]；
所以|AB|+|CD|=12/(4-cos^2 θ)+12/cos^2 (π/2-θ)；化简可得：
|AB|+|CD|=84[(12+sin^2 θ*cos^2 θ)]；进一步化简，
可得：|AB|+|CD|=84[(12+1/4*sin^2 2θ)]；
根据sin2θ的取值范围，可知0<=sinsin^2 2θ<=1；故可求得：
336/49<=|AB|+|CD|<=7；
其中当2θ=0时，即θ=0最大，为7
当2θ=π/2,或者2θ=-π/2时，即θ=π/4，π/4-最小，为336/49

Answer 2

呃