Question

求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解x1+x2-3x4=0，x1-x2-2x3-x4=0,4x1-2x2+6x3+3x4=0

我算了很久，和答案对不上，答案是（5,7，-3,4）的转置，请老师解答！

Answer 1

化简到最后阶梯形，第一行是1 1 0 -3 第二行是0 1 1 -1第三行0 0 4 3 令x4等于1为自由未知数，其它解出来是分数，同时乘4再配个系数就得到答案。

方程组同解变形为 

x1=-2x3-x4

x2=x3-3x4

得基础解系 (-2, 1, 1, 0)^T, (1, 3, 0, -1)^T,

通解为 x =k(-2, 1, 1, 0)^T+c(1, 3, 0, -1)^T,

其中 k，c 为任意常数。

扩展资料：

当r=n时，原方程组仅有零解；

当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

通解为 x =k(-2, 1, 1, 0)^T+c(1, 3, 0, -1)^T

化简到最后阶梯形，第一行是1 1 0 -3 第二行是0 1 1 -1第三行0 0 4 3 令x4等于1为自由未知数，其它解出来是分数，同时乘4再配个系数就得到答案。

方程组同解变形为

x1=-2x3-x4

x2=x3-3x4

得基础解系 (-2, 1, 1, 0)^T, (1, 3, 0, -1)^T

通解为 x =k(-2, 1, 1, 0)^T+c(1, 3, 0, -1)^T

其中 k，c 为任意常数

性质

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

4、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

Answer 3

化简到最后阶梯形，第一行是1 1 0 -3 第二行是0 1 1 -1第三行0 0 4 3 令x4等于1为自由未知数，其他解出来是分数，同时乘4再配个系数就得到答案

Answer 4

答案不是唯一的

追问

谢谢老师，我还有一个问题：在一个矩阵化成最简形矩阵的过程中，可以交替性使用行初等变换和列初等变换，还是说两者只能取其一用来化简矩阵？