Question

观察式子：（1）x2-1=（x-1）（x+1），∴x2?1x+1=______；（2）x3-1=（x-1）（x2+x+1），∴x3?1x2+x+1=__

观察式子：（1）x2-1=（x-1）（x+1），∴x2?1x+1=______；（2）x3-1=（x-1）（x2+x+1），∴x3?1x2+x+1=______；（3）x3-1=（x-1）（　　），∴x4?1x3+x2+x+1＝x?1；（4）猜想：xn-1=（x-1）（　　），∴xn?1( )=x-1．如果要计算210-29+…+1的值，你能用一个两项式表达210-29+…+1的值吗？

Answer 1

（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴

x2?1

x+1

=x-1；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴

x3?1

x2+x+1

=x-1；
（3）x⁴-1=（x-1）（x³+x²+x+1），∴

x4?1

x3+x2+x+1

＝x?1；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴

xn?1

xn?1+xn?2+…+x+1

=x-1；　　
当n=11，x¹¹-1=（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1），
令x=-2，则（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），
所以2¹⁰-2⁹+…+1=

(?2)11?1

?3

=

1

3

（2¹¹-1）．
故答案为x-1，x-1．